![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
sassa_nfДиаграмма коюнита:
В двух словах - если у нас adjoint F ⊣ G, то каждой D-стрелке g соответствует какая-то уникальная C-стрелка g* из X в G(F(X)), но при этом ещё и существует D-стрелка ε - коюнит - естественное преобразование, соединяющее кодомены F(g*) и g. Трам-пам-пам, совсем по Пирсу.
Продолжим, и нарисуем диаграмму коюнита с обоими категориями, и выберем g=idD
D-стрелке id соответствует C-стрелка η: X → G(F(X)). Её D-образ F(η): F(X) → F(G(F(X))). А D-стрелка ε "возвращает" обратно в F(X). D-стрелкам F(η) и ε соответствуют C-стрелки G(F(η)) и G(ε). Так вот G(ε) и есть μ. Если обозначить G.F=T, получаем:
а отсюда и коммутирующие диаграммы для η и μ - типа, сначала "пройти" из X по стрелке F, потом G, потом T(η), или сначала "пройти" по η, потом F, потом G.
Эта диаграмма должна коммутировать и без μ, т.к. мы просто обоими путями попадаем в тот же объект T2(X). Более интересно получается, когда я не забуду дорисовать η от T(X) до T(T(X)). Здесь уже у η дорисуем индекс, обозначающий какому C-объекту соответствует стрелка этого семейства, чтобы отличать от других стрелок этого семейства:
А вот здесь уже чудесно то, что хотя ηT(X) и T(ηX) стрелки разные, μ.ηT(X) коммутирует с μ.T(ηX). Как бы, из факта, что idD=ε.F(ηX), понятно, что idC=μ.T(ηX), но не понятно, с чего бы это idC=μ.ηT(X).
В двух словах - если у нас adjoint F ⊣ G, то каждой D-стрелке g соответствует какая-то уникальная C-стрелка g* из X в G(F(X)), но при этом ещё и существует D-стрелка ε - коюнит - естественное преобразование, соединяющее кодомены F(g*) и g. Трам-пам-пам, совсем по Пирсу.
Продолжим, и нарисуем диаграмму коюнита с обоими категориями, и выберем g=idD
D-стрелке id соответствует C-стрелка η: X → G(F(X)). Её D-образ F(η): F(X) → F(G(F(X))). А D-стрелка ε "возвращает" обратно в F(X). D-стрелкам F(η) и ε соответствуют C-стрелки G(F(η)) и G(ε). Так вот G(ε) и есть μ. Если обозначить G.F=T, получаем:
а отсюда и коммутирующие диаграммы для η и μ - типа, сначала "пройти" из X по стрелке F, потом G, потом T(η), или сначала "пройти" по η, потом F, потом G.
А вот здесь уже чудесно то, что хотя ηT(X) и T(ηX) стрелки разные, μ.ηT(X) коммутирует с μ.T(ηX). Как бы, из факта, что idD=ε.F(ηX), понятно, что idC=μ.T(ηX), но не понятно, с чего бы это idC=μ.ηT(X).
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2012-07-17 08:44 pm (UTC)no subject
Date: 2012-07-17 08:53 pm (UTC)здесь всё понятно: полностью определено свойством natural transformation плюс вывод, что μ.T(ηX)=idC.
А вот здесь -
не понятно, откуда берётся, что μX по сути co-equalizes T(ηX) и ηT(X).
no subject
Date: 2012-07-18 12:21 am (UTC)comes from
Ну а на самом деле вот здесь в вики: http://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors#Adjunctions_in_full
всё и разъясняется. Главное, что эта эквивалентность, FX->Y и X->GY является natural.
Могу деталей понаписать, если с вики не всё ясно.
no subject
Date: 2012-07-18 07:43 am (UTC)Да с G(F(ηX));μ: G(F(X)) -> G(F(G(F(X)))) -> G(F(X)) у меня вопросов как раз нет - я как раз до этого дошёл в своей диаграмме. А вот как умозаключить, что ηT(X);μ: G(F(X)) -> G(F(G(F(X)))) -> G(F(X)) тоже коммутирует?
Да, "типы" связаны те же самые, и "на пальцах" понятно, но откуда следует, что коммутирует?
no subject
Date: 2012-07-19 05:27 pm (UTC)