что за μ

[sassa_nf]

Диаграмма коюнита:


В двух словах - если у нас adjoint F ⊣ G, то каждой D-стрелке g соответствует какая-то уникальная C-стрелка g^* из X в G(F(X)), но при этом ещё и существует D-стрелка ε - коюнит - естественное преобразование, соединяющее кодомены F(g^*) и g. Трам-пам-пам, совсем по Пирсу.

Продолжим, и нарисуем диаграмму коюнита с обоими категориями, и выберем g=id_D



D-стрелке id соответствует C-стрелка η: X → G(F(X)). Её D-образ F(η): F(X) → F(G(F(X))). А D-стрелка ε "возвращает" обратно в F(X). D-стрелкам F(η) и ε соответствуют C-стрелки G(F(η)) и G(ε). Так вот G(ε) и есть μ. Если обозначить G.F=T, получаем:



а отсюда и коммутирующие диаграммы для η и μ - типа, сначала "пройти" из X по стрелке F, потом G, потом T(η), или сначала "пройти" по η, потом F, потом G.

Эта диаграмма должна коммутировать и без μ, т.к. мы просто обоими путями попадаем в тот же объект T²(X). Более интересно получается, когда я не забуду дорисовать η от T(X) до T(T(X)). Здесь уже у η дорисуем индекс, обозначающий какому C-объекту соответствует стрелка этого семейства, чтобы отличать от других стрелок этого семейства:



А вот здесь уже чудесно то, что хотя η_T(X) и T(η_X) стрелки разные, μ.η_T(X) коммутирует с μ.T(η_X). Как бы, из факта, что id_D=ε.F(η_X), понятно, что id_C=μ.T(η_X), но не понятно, с чего бы это id_C=μ.η_T(X).

Comments

[juan-gandhi.livejournal.com]

Отвечу отдельным большим постом, чтоб не потерялось. Хорошая тема, спасибо.