вот что за μ
Jul. 30th, 2012 10:51 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
sassa_nfЧего мне не хватало, так это конструктивности.
Итак, есть естественное преобразование η такое, что оно является инициальной стрелкой и естественное преобразование ε, являющееся терминальной стрелкой.
Поскольку η - естественное преобразование, соответствующий квадрат коммутирует для любых C-стрелок. Таким образом этот квадрат коммутирует и в категории D.
Поскольку ε - естественное преобразование, то коммутирует и тот же квадрат с ε (т.к. F(T(X))=U(F(X))).
Отсюда получаем, что при f=idX композиция F(ηX) и εF(X) обязана коммутировать с F(idX)=idF(X). Поскольку F(ηX);εF(X)=F(idX), то для всех C-стрелок f справедливо следующее: F(f)=F(f);F(ηY);εF(Y)=F(f;ηY);εF(Y), т.е. существует C-стрелка f;ηY такая, что композиция её проекции с ε коммутирует с проекцией C-стрелки f.
Пока что мы не пользовались никакими специальными свойствами, определяющими сопряжённость, так что, эта диаграмма должна быть справедлива для любой пары функторов и естественных преобразований. А вот что должно быть уникальным, так это наличие ограничения, что η и ε являются универсальными стрелками для определённого вида (ко)конов. Универсальность стрелок означает, что все стрелки, равные f;ηY, проектируются функтором F в одну и ту же стрелку (например, стрелки f;ηY и ηX;T(f) разные, но их образ в категории D одна и та же стрелка).
Так что, я получил вопрос на ответ, каким образом ε "выбирает", какая именно C-стрелка коммутирует с каждой D-стрелкой.
А вот здесь возник вопрос: когда определена универсальность стрелок, имеется в виду "среди образов всех C-стрелок существует единственная D-стрелка ..." или имеется в виду "среди всех D-стрелок существует единственная, и та является образом C-стрелки"?
Ну и ещё нужно будет пожевать, что происходит с D-стрелками между объектами, которым нет соответствия в категории C.
Итак, есть естественное преобразование η такое, что оно является инициальной стрелкой и естественное преобразование ε, являющееся терминальной стрелкой.
Поскольку η - естественное преобразование, соответствующий квадрат коммутирует для любых C-стрелок. Таким образом этот квадрат коммутирует и в категории D.
Поскольку ε - естественное преобразование, то коммутирует и тот же квадрат с ε (т.к. F(T(X))=U(F(X))).
Отсюда получаем, что при f=idX композиция F(ηX) и εF(X) обязана коммутировать с F(idX)=idF(X). Поскольку F(ηX);εF(X)=F(idX), то для всех C-стрелок f справедливо следующее: F(f)=F(f);F(ηY);εF(Y)=F(f;ηY);εF(Y), т.е. существует C-стрелка f;ηY такая, что композиция её проекции с ε коммутирует с проекцией C-стрелки f.
Пока что мы не пользовались никакими специальными свойствами, определяющими сопряжённость, так что, эта диаграмма должна быть справедлива для любой пары функторов и естественных преобразований. А вот что должно быть уникальным, так это наличие ограничения, что η и ε являются универсальными стрелками для определённого вида (ко)конов. Универсальность стрелок означает, что все стрелки, равные f;ηY, проектируются функтором F в одну и ту же стрелку (например, стрелки f;ηY и ηX;T(f) разные, но их образ в категории D одна и та же стрелка).
Так что, я получил вопрос на ответ, каким образом ε "выбирает", какая именно C-стрелка коммутирует с каждой D-стрелкой.
А вот здесь возник вопрос: когда определена универсальность стрелок, имеется в виду "среди образов всех C-стрелок существует единственная D-стрелка ..." или имеется в виду "среди всех D-стрелок существует единственная, и та является образом C-стрелки"?
Ну и ещё нужно будет пожевать, что происходит с D-стрелками между объектами, которым нет соответствия в категории C.
